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山西快乐十分走势图屏:微積分的應用

山西快乐十分前三走势 www.fyiul.com 來源:UC論文網2019-04-04 09:43

摘要:

  摘要:微積分是微分學和積分學的合稱,產生于17世紀后半期,基本完成于19世紀,它不僅是分析學的基礎部分,而且是現代數學的基礎部分,在各領域中有著廣泛應用.本文主要研究微積分在力學、經濟、幾何方面的應用.  關鍵詞:微積分泰勒公式應用  1.(帶皮亞諾型余項的)泰勒公式其應用  定理若f(x)在x=0點有直到n+1階連續導數,那么  f(x)≈f(0)+f′(0)x+x+…+x+R(x)  R(...

  摘要:微積分是微分學和積分學的合稱,產生于17世紀后半期,基本完成于19世紀,它不僅是分析學的基礎部分,而且是現代數學的基礎部分,在各領域中有著廣泛應用.本文主要研究微積分在力學、經濟、幾何方面的應用.


  關鍵詞:微積分泰勒公式應用


  1.(帶皮亞諾型余項的)泰勒公式其應用


  定理若f(x)在x=0點有直到n+1階連續導數,那么


  f(x)≈f(0)+f′(0)x+x+…+x+R(x)


  R(x)=0(x)


  這就是函數f(x)在x=0點附近關于x的冪函數展開式,也叫泰勒公式,式中R(x)叫做皮亞余項.


  下面舉例說明帶皮亞諾型余項的泰勒公式的應用.


  例1.求


  解:由于cosx=1-++0(x)


  e=1+(-)+(-)+0[(-)]=1-++0(x)


  從而cosx-e=-+0(x)


  于是===-


  2.在微分方程中的應用


  例2.設函數f(u)具有連續導數,而z=f(esiny)滿足+=ez,求f(u).


  分析:設z=f(u),u=esiny,用一個中間變量代替兩個自變量.


  解:設z=f(u),u=esiny,則=f′(u)=f′(u)esiny


  =f″(u)esiny+f′(u)esiny,=f′(u)ecosy


  =f″(u)ecosy-f′(u)esiny


  +=f″(u)esiny+f″(u)ecosy=f″(u)e=ez


  即得f″(u)-f(u)=0,這是關于未知函數f(u)的二階常系數線性齊次微分方程.


  特征方程:r-1=0,r=-1,r=1,通解為f(u)=ce+ce.


  3.積分在幾何中的應用


  例3.求橢圓+=1所圍成圖形的面積.


  解:因為橢圓關于兩坐標軸都對稱,所以橢圓面積應等于其第一象限面積的四倍.這樣,橢圓面積A=4ydx=4dx=4bdx


  用換元法,令x=asint,則dx=acostdt.且x=0時t=0;x=a時t=,從而


  A=4abcostdt=4abcostdt


  =2ab(1+cos2t)dt=2ab=πab


  4.在經濟中應用最大利潤問題


  例4.某公司投資2000萬元,建成一條生產線,投產后,其追加成本和追加收入(分別是成本函數和收入函數對時間t的變化率,類似于邊際函數概念)分別為G(t)=5+2t(百萬元/年)Φ(x)=17-t(百萬元/年).試確定該生產線使用多長時間停產可使公司獲得最大利潤?最大利潤是多少?


  解:容易看出,追加成本G(t)是單調增函數而追加收入Φ(x)是單調減函數,這說明生產費用在逐年增加,而生產收入在逐年減少,二者之差即為生產利潤隨時間的變化率:


  G(t)-Φ(x)=17-t-5+2t=12-3t


  與邊際成本和邊際收入的關系相同,這里生產利潤的最大值在的必要條件也是G(t)=Φ(x).


  解之得t=8,由于生產利潤對時間的二階導數=[Φ(x)-G(t)]′=-2t<0,因此上述t=8是生產利潤的最大值點.這樣,生產利潤的最大值(單位:百萬元)為


 ?。鄶擔▁)-G(t)]dt-20=12-3tdt-12


  =38.4-20=18.4百萬元


  即生產線應用在使用8年后停產,此時公司總利潤為1840萬元.


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